前言

关于傅里叶级数对于时域和频域的转换这里不过多赘述：[信号与系统]有关时域信号与频域信号的转换

连续信号到离散信号的转换

将连续时域信号 $x(t)$ 转换为离散时域信号 $x[n]$ 的数学推导过程如下：

1. 采样定理

采样定理指出，如果一个信号的最高频率不超过 $\frac{1}{2T_s}$（即奈奎斯特频率），则可以通过每隔 $T_s$ 进行一次采样来完全重建该信号。这个过程可以表示为：
$$x[n]=x(n{T}_s)$$
其中 $T_s$ 是采样间隔，$n$ 是一个整数。

2. 采样点的选择

为了将连续信号 $x(t)$ 转换为离散信号 $x[n]$，我们需要在等间隔的时间点 $t_n$ 处对 $x(t)$ 进行采样。时间点 $t_n$ 可以表示为：
$$t_n=n{T}_s$$
其中 $n$ 为整数。

3. 离散信号的表达式

通过在这些时间点上采样，离散信号 $x[n]$ 表示为：
$$x[n]=x(n{T}_s)$$

4. 数学推导

假设我们有一个连续信号 $x(t)$，我们想要将其采样得到离散信号 $x[n]$。

1. 定义连续信号：

   设连续信号 $x(t)$ 表示为：
   $$x(t)$$

2. 选择采样间隔 $T_s$：

   选择一个适当的采样间隔 $T_s$，使得信号满足采样定理。

3. 计算采样点：

   采样点 $t_n$ 可以表示为：
   $$t_n=n{T}_s$$

4. 在采样点进行采样：

   在采样点 $t_n$ 处，对连续信号 $x(t)$ 进行采样，得到离散信号 $x[n]$：
   $$x[n]=x(n{T}_s)$$

5. 采样和重构

采样过程

采样是将连续时间信号 $x(t)$ 在离散时间点 $t=n{T}_s$ 处进行取样的过程。其数学表达式为：
$$x[n]=x(n{T}_s)$$
其中 $n$ 为整数，表示采样点的索引。

重构过程

假设我们有一个离散时间信号 $x[n]$，我们可以通过插值方法重构原始的连续时间信号 $x(t)$。最常用的重构方法是使用理想的低通滤波器进行重构，其表达式为：
$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \text{sinc}\left(\frac{t-n{T}_s}{T_s}\right)$$
其中 $\text{sinc}(x)$ 是 sinc 函数，定义为：
$$\text{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$$

重构过程的基本原理是将离散的样本 $x[n]$ 进行加权叠加，其中权重是 $\text{sinc}$ 函数的取值。这个过程在理论上可以完全重建原始的连续时间信号 $x(t)$，前提是信号满足采样定理的条件。

示例

假设我们有一个频率为 1 Hz 的正弦波信号 $x(t)=\sin (2\pi t)$，采样间隔 $T_s$ 为 0.1 秒。我们可以通过以下步骤进行采样和重构：

1. 计算采样点：
   $$t_n=n{T}_s=0.1n$$
2. 在采样点进行采样：
   $$x[n]=\sin (2\pi \cdot 0.1n)$$

离散信号 $x[n]$ 表示为：
$$x[n]=\sin (0.2\pi n)$$

重构信号 $x(t)$ 表示为：
$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sin (0.2\pi n)\cdot \text{sinc}\left(\frac{t-0.1n}{0.1}\right)$$

通过这个过程，我们可以看到如何将连续时域信号转换为离散时域信号，并且在理论上可以通过重构过程完全恢复原始的连续时域信号。